ニュートン法(例:平方根の近似)

\(連続で1回微分可能なある関数f(x)について、x_0をf(x)=0の解に十分に近くに選ぶ。\)
点\((x_0,f(x_0))\)を通る接線の方程式は\[\ g(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) \]と表せる。
\(g(x)=0\)となる点\[\ x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\]
同様に\[\ x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\]
これを繰り返す事で、f(x)=0の近似解を得る。

\(例: \sqrt{a}の近似値を求める。\)
\(f(x)=x^2-a=0の解は、x=\pm\sqrt{a} \)
\[ f'(x)=2x \]
\[ x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n – \frac{x_n^2 + a}{2x_n} = \frac{x_n^2 + a}{2x_n} \]
\(である。初期値x_0の値を、-\sqrt{a}に近い値にすると-\sqrt{a}に、\sqrt{a}に近い値にすると\sqrt{a}に収束する。 \)

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です